PROBLEME DE GIBBS

 

CONTENU : Mis à jour 8 janvier 1999

 

 

I Position du problème

 

II Rappels sur les mouvements képlériens

 

III Résolution du problème de Gibbs

 

I POSITION DU PROBLEME:

 

On suppose que des observations optiques ou radar, ont permis de préciser trois positions, naturellement coplanaires, d'un satellite en mouvement dans un champ newtonien. L'orbite est donc une conique, ellipse ou hyperbole en général.

Nous connaissons donc trois rayons vecteurs:

La résolution que nous allons donner, fournit alors:

    • le paramètre p (visualisé ci-contre en noir)
    • l'excentricité e
    • les vecteurs P Q, W du repère périfocal
    • la vitesse V en chacun des points de l'orbite.

II RAPPELS:

A toute orbite képlérienne on associe des invariants scalaires ou vectoriels, qui constituent des intégrales premières du mouvement, donnons les trois utiles à cette étude:

Le vecteur moment cinétique réduit, normal au plan orbital et orientant le sens du mouvement orbital.

Le vecteur excentricité qui pointe le périgée, donne donc le grand axe et l'excentricité par sa norme

Le paramètre p ( visible sur la figure), longueur constante caractéristique de l'orbite. On rappelle que dans le repère périfocal galiléen PQW, l'équation de la conique s'écrit:

Un calcul géométriquement évident donne :

Cette dernière relation sera utilisée plus loin.

III RESOLUTION:

On définit trois nouveaux vecteurs associés à l'orbite:

Dans les axes du repère périfocal, on a de toute évidence:

Utilisant le développement du double produit vectoriel et la relation donnant p-r on a:

De toute évidence le calcul s'achève par :

Enfin un calcul plus complexe, que nous ne faisons pas, fournit la vitesse en un point:

Le calcul se termine classiquement par celui des paramètres orbitaux connaissant le vecteur position et le vecteur vitesse.

Guiziou Robert décembre 1998